Справочные таблицы
Все основные формулы
Арифметика. Дроби
| Сложение | a/b + c/d = (ad + bc)/(bd) |
|---|---|
| Вычитание | a/b − c/d = (ad − bc)/(bd) |
| Умножение | a/b · c/d = (ac)/(bd) |
| Деление | a/b : c/d = (ad)/(bc) |
| Общий знаменатель | НОК знаменателей; доп. множитель = общий знаменатель ÷ знаменатель дроби |
| Сокращение | числитель и знаменатель делим на НОД(a, b) |
Арифметика. Проценты
| p% от N | N · p/100 |
|---|---|
| Число по части | если a = b·x, то b = a/x; если p% числа = B, то число = B · 100/p |
| Увеличение на p% | N · (1 + p/100) |
| Уменьшение на p% | N · (1 − p/100) |
| 1% | 1/100 = 0,01 |
Арифметика. Степень
| Определение (n ∈ N) | aⁿ = a·a·…·a (n множителей); a¹ = a; a⁰ = 1 (a ≠ 0) |
|---|---|
| Отрицательный показатель | a⁻ᵏ = 1/aᵏ (a ≠ 0) |
| Умножение | aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ |
| Деление | aⁿ : aᵐ = aⁿ⁻ᵐ (a ≠ 0) |
| Степень степени | (aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ |
| Степень произведения | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ |
| Степень частного | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ (b ≠ 0) |
Арифметика. Корень
| Определение | ⁿ√a = x ⇔ xⁿ = a (a ≥ 0, x ≥ 0); при n = 2 пишут √a |
|---|---|
| Квадрат корня | (√a)² = a при a ≥ 0 |
| Корень из квадрата | √(a²) = |a| |
| Корень произведения | ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b (a, b ≥ 0) |
| Корень частного | ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b (a ≥ 0, b > 0) |
| Степень с дробным показателем | a¹/ⁿ = ⁿ√a; aᵐ/ⁿ = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ (a > 0) |
Алгебра. Формулы сокращённого умножения (ФСУ)
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² |
|---|---|
| Квадрат разности | (a − b)² = a² − 2ab + b² |
| Разность квадратов | a² − b² = (a − b)(a + b) |
| Куб суммы | (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| Куб разности | (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ |
| Сумма кубов | a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) |
| Разность кубов | a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) |
Алгебра. Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0
| Дискриминант | D = b² − 4ac |
|---|---|
| Корни | x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a); при D > 0 — два корня; D = 0 — один; D < 0 — нет действительных корней |
| Теорема Виета (приведённое x² + px + q = 0) | x₁ + x₂ = −p; x₁·x₂ = q |
| Теорема Виета (общий вид) | x₁ + x₂ = −b/a; x₁·x₂ = c/a |
| Разложение трёхчлена | ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂); при D = 0: a(x − x₀)² |
Алгебра. Линейное уравнение и неравенства
| Линейное уравнение | ax + b = 0 ⇒ x = −b/a (a ≠ 0) |
|---|---|
| Линейное неравенство | при делении на отрицательное число знак неравенства меняется: > ↔ <, ≥ ↔ ≤ |
| Метод интервалов | отметить нули числителя и знаменателя на прямой; определить знак на промежутках; выбрать промежутки по условию (> 0 или < 0) |
Функции. Координаты
| Расстояние между точками A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) | AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) |
|---|---|
| Середина отрезка AB | M((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2) |
| Расстояние на прямой | |b − a| между точками с координатами a и b |
Функции. Линейная и квадратичная
| Линейная функция | y = kx + b; k — угловой коэффициент, k = tg α; b — ордината точки пересечения с Oy |
|---|---|
| Параллельность прямых | y = k₁x + b₁ ∥ y = k₂x + b₂ ⇔ k₁ = k₂ |
| Перпендикулярность прямых | k₁·k₂ = −1 |
| Парабола y = ax² + bx + c | вершина: x₀ = −b/(2a), y₀ = −D/(4a), D = b² − 4ac; ось симметрии x = x₀ |
| Обратная пропорциональность | y = k/x, k ≠ 0; график — гипербола |
Геометрия. Углы и прямые
| Смежные углы | ∠1 + ∠2 = 180° |
|---|---|
| Вертикальные углы | равны |
| При параллельных и секущей | накрест лежащие равны; соответственные равны; сумма односторонних = 180° |
Геометрия. Треугольник
| Сумма углов | ∠A + ∠B + ∠C = 180° |
|---|---|
| Внешний угол | равен сумме двух внутренних, не смежных с ним |
| Неравенство треугольника | a < b + c, b < a + c, c < a + b |
| Площадь (сторона и высота) | S = ½ah |
| Площадь (две стороны и угол) | S = ½ab·sin γ |
| Формула Герона | S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), p = (a+b+c)/2 |
| Прямоугольный: Пифагор | c² = a² + b² |
| Прямоугольный: площадь | S = ½ab |
| Подобие | отношение площадей = k² (k — коэффициент подобия) |
Геометрия. Окружность и круг
| Длина окружности | L = 2πR |
|---|---|
| Площадь круга | S = πR² |
| Площадь сектора | S = (α/360°)·πR² (α в градусах) |
| Вписанный угол | равен половине дуги, на которую опирается; вписанный, опирающийся на диаметр, = 90° |
| Центральный угол | равен дуге, на которую опирается |
Геометрия. Четырёхугольники
| Параллелограмм | S = ah = ab·sin α |
|---|---|
| Прямоугольник | S = ab |
| Ромб | S = ½d₁d₂ = ah = a²·sin α |
| Квадрат | S = a²; диагональ d = a√2 |
| Трапеция | S = (a+b)h/2 = m·h; средняя линия m = (a+b)/2 |
Стереометрия. Объёмы и поверхности
| Призма | V = Sосн·h; прямой параллелепипед V = abc; куб V = a³ |
|---|---|
| Пирамида | V = (1/3)Sосн·h |
| Цилиндр | V = πR²h; Sбок = 2πRh; Sполн = 2πR(R+h) |
| Конус | V = (1/3)πR²h; Sбок = πRl (l — образующая) |
| Шар | V = (4/3)πR³; площадь сферы S = 4πR² |
Тригонометрия. Основные тождества
| Основное тождество | sin²α + cos²α = 1 |
|---|---|
| Тангенс и котангенс | tg α = sin α/cos α (cos α ≠ 0); ctg α = cos α/sin α; tg α·ctg α = 1 |
| 1 + tg²α | 1 + tg²α = 1/cos²α |
| Формулы приведения (π/2 ± α) | sin(π/2 − α) = cos α; cos(π/2 − α) = sin α; sin(π/2 + α) = cos α; cos(π/2 + α) = −sin α |
| Формулы приведения (π ± α) | sin(π + α) = −sin α; cos(π + α) = −cos α; sin(π − α) = sin α; cos(π − α) = −cos α |
| Формулы приведения (2π − α) | sin(2π − α) = −sin α; cos(2π − α) = cos α |
Тригонометрия. Таблица значений (0°, 30°, 45°, 60°, 90°)
| Угол | sin | cos | tg |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | не опр. |
Прогрессии
| АП: n-й член | aₙ = a₁ + (n−1)d |
|---|---|
| АП: сумма n членов | Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2 = (2a₁ + (n−1)d)n/2 |
| АП: характеристическое свойство | aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2 |
| ГП: n-й член | bₙ = b₁·qⁿ⁻¹ |
| ГП: сумма n членов (q ≠ 1) | Sₙ = b₁(qⁿ−1)/(q−1) = b₁(1−qⁿ)/(1−q) |
| ГП: при q = 1 | Sₙ = n·b₁ |
| ГП: бесконечно убывающая (|q| < 1) | S∞ = b₁/(1−q) |
| ГП: характеристическое свойство | bₙ² = bₙ₋₁·bₙ₊₁ |
Производная (ЕГЭ)
| (xⁿ)′ | nxⁿ⁻¹ (n ∈ R) |
|---|---|
| (eˣ)′ | eˣ |
| (aˣ)′ | aˣ ln a (a > 0) |
| (ln x)′ | 1/x (x > 0) |
| (logₐ x)′ | 1/(x ln a) |
| (sin x)′ | cos x |
| (cos x)′ | −sin x |
| (tg x)′ | 1/cos²x |
| (ctg x)′ | −1/sin²x |
| (u ± v)′ | u′ ± v′ |
| (uv)′ | u′v + uv′ |
| (u/v)′ | (u′v − uv′)/v² |
| Касательная к y = f(x) в точке x₀ | y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) |