Математика

Координатная прямая: на прямой выбраны начало O, единичный отрезок и направление. Каждой точке соответствует одно число — её координата. Расстояние между точками A(a) и B(b) равно |b − a|. Отрезок [a; b] — множество точек с координатами x, где a ≤ x ≤ b; интервал (a; b) — те же x, но без концов.

Плоскость: две перпендикулярные оси Ox и Oy с общим началом O образуют прямоугольную систему координат. Точка задаётся парой (x; y) — абсцисса и ордината. Расстояние между A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂): AB = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). Середина отрезка AB: (x₁+x₂2; y₁+y₂2).

Функция — правило, по которому каждому допустимому x соответствует ровно одно значение y. Запись: y = f(x). Область определения D(f) — все x, при которых выражение имеет смысл (знаменатель ≠ 0, подкоренное выражение ≥ 0 и т.д.). Множество значений E(f) — все значения, которые принимает f(x).

График функции — множество точек плоскости с координатами (x; f(x)). По графику можно определять: значение f в точке x (ордината точки графика с этой абсциссой); нули — абсциссы точек пересечения с осью Ox (f(x) = 0); знак функции на промежутках (выше или ниже Ox); промежутки возрастания и убывания; наибольшее и наименьшее значение на отрезке (самая высокая и самая низкая точки графика на этом отрезке).

Линейная функция y = kx + b. График — прямая линия. Коэффициент k (угловой коэффициент) равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox. При k > 0 прямая идёт вверх (функция возрастает), при k < 0 — вниз (убывает), при k = 0 — горизонтальная прямая y = b.

Свободный член b — ордината точки пересечения графика с осью Oy (точка (0; b)). Для построения прямой достаточно двух точек; удобно брать (0; b) и, например, (1; k + b).

Две прямые y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂ параллельны, если k₁ = k₂; перпендикулярны, если k₁·k₂ = −1. Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки (x₁; y₁) и (x₂; y₂): k = y₂ − y₁x₂ − x₁ (при x₁ ≠ x₂).

Квадратичная функция y = ax² + bx + c, a ≠ 0. График — парабола. При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз. Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через вершину.

Вершина параболы — точка минимума (если a > 0) или максимума (если a < 0). Её абсцисса x₀ = −b2a; ордината y₀ = f(x₀) = −D4a, где D = b² − 4ac. Ось симметрии — прямая x = x₀.

Нули функции — корни уравнения ax² + bx + c = 0; это абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox. Если D > 0, парабола пересекает Ox в двух точках; если D = 0 — касается в вершине; если D < 0 — не пересекает.

Обратная пропорциональность y = k/x, k ≠ 0. ОДЗ: x ≠ 0; множество значений: y ≠ 0. График — гипербола: две гладкие ветви. При k > 0 ветви лежат в I и III координатных четвертях; при k < 0 — во II и IV.

Гипербола не пересекает оси Ox и Oy. При приближении x к нулю |y| неограниченно растёт (ветви «уходят в бесконечность»); при больших по модулю x значение y близко к нулю (ветви приближаются к осям). Функция нечётная: f(−x) = −f(x), график симметричен относительно начала координат.

y = |x|. При x ≥ 0 это y = x, при x < 0 это y = −x. График — «галочка» с вершиной в начале координат, симметричная относительно Oy. Для y = |f(x)|: часть графика y = f(x), лежащая ниже оси Ox, симметрично отражается вверх; часть выше Ox остаётся без изменений.

y = √x. Область определения x ≥ 0, множество значений y ≥ 0. График — верхняя ветвь параболы x = y² (полупарабола в первой четверти). Функция возрастает на всей области определения.

y = xⁿ. При чётном n график похож на параболу y = x²: симметрия относительно Oy, ветви вверх. При нечётном n — кубическая парабола y = x³: симметрия относительно начала координат, возрастает на всей оси.

Сдвиги и растяжения. График y = f(x − m) + n получается из графика y = f(x) сдвигом на m вправо по Ox и на n вверх по Oy. График y = a·f(x) — растяжение по вертикали в |a| раз (при a < 0 ещё отражение относительно Ox).