Математика

Вся школьная математика опирается на понятие числа. Чётко понимать, какие числа бывают и как их записывать — основа для алгебры и экзаменов.

Натуральные числа

Натуральные числа — числа при счёте: 1, 2, 3, 4, … Множество обозначают N. Ноль к натуральным в школе не относят. В N всегда выполнимы сложение и умножение; вычитание и деление — не всегда.

Целые числа

Целые числа — натуральные, ноль и противоположные натуральным: …, −2, −1, 0, 1, 2, … Множество Z. Сложение, вычитание и умножение в Z всегда выполнимы; деление — не всегда (7 : 2 не целое).

Рациональные числа

Рациональное число — число, записываемое в виде дроби mn, где m — целое, n — натуральное. Множество Q. Примеры: 34, −52, 6, 0. В Q выполнимы все четыре действия (кроме деления на ноль).

Иррациональные числа и действительные

Иррациональное число — число, которое нельзя представить в виде дроби mn (m ∈ Z, n ∈ N). В десятичной записи — бесконечная непериодическая дробь. Примеры: √2, √3, π, e.

Действительные (вещественные) числа — объединение рациональных и иррациональных. Множество R. На числовой прямой каждой точке соответствует одно действительное число, и наоборот. Цепочка вложений: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Разделить числитель на знаменатель (уголком или калькулятором). Если остаток когда-нибудь станет нулём, получится конечная десятичная дробь (например 14 = 0,25). Если остаток повторяется — периодическая дробь (например 13 = 0,333… = 0,(3)).

Перевод десятичной дроби в обыкновенную

Конечная дробь: 0,25 — в числителе число без запятой (25), в знаменателе единица с нулями по числу знаков после запятой (100). Получаем 25100, сокращаем: 14. Смешанное число 2,15: целая часть 2, дробная 15100 = 320; итог 2 + 320 = 4320.

Дроби складывают, вычитают, умножают и делят по определённым правилам. Основа — приведение к общему знаменателю для сложения и вычитания и умение сокращать дроби.

Сложение и вычитание дробей

Дроби можно складывать или вычитать только тогда, когда у них одинаковые знаменатели. Если знаменатели разные, дроби сначала приводят к общему знаменателю.

Общий знаменатель — обычно НОК знаменателей (наименьшее общее кратное) или их произведение. НОД (наибольший общий делитель) нужен для сокращения дробей: числитель и знаменатель делят на их НОД.

Алгоритм сложения/вычитания: найти общий знаменатель; для каждой дроби вычислить дополнительный множитель (общий знаменатель ÷ знаменатель дроби); умножить числитель и знаменатель на этот множитель; сложить или вычесть числители; сократить результат.

Умножение дробей

Перемножают числители и отдельно знаменатели:

Перед умножением удобно сокращать: любой числитель с любым знаменателем (в одной или в разных дробях). Смешанные числа сначала переводят в неправильные дроби.

Деление дробей

Деление заменяют умножением на обратную дробь: вторую дробь «переворачиваем» и умножаем.

Пример: 23 : 45 = 23 · 54 = 1012 = 56.

Процент — одна сотая часть. 1% = 1100 = 0,01. Знак % означает «разделить на 100»: 25% = 25100 = 0,25. Умение уверенно работать с процентами нужно и в жизни, и в задачах ОГЭ и ЕГЭ.

Три типа задач на проценты

Тип 1. Найти p% от числа A. Ответ: A · p100. Пример: 15% от 200 = 200 · 15100 = 30.

Тип 2. Найти число, если p% этого числа равно B. x · p100 = B ⇒ x = B · 100p. Пример: 20% числа равны 50 ⇒ число = 50 · 10020 = 250.

Тип 3. Увеличить или уменьшить A на p%. Увеличение: A · (1 + p100). Уменьшение: A · (1 − p100). Пример: 80 + 25% → 80 · 1,25 = 100; 80 − 20% → 80 · 0,8 = 64.

В задачах ОГЭ часто встречаются скидки, наценки, налоги — все они решаются этими формулами. Важно правильно определить, что дано: процент от числа, число по проценту или изменение на процент.

Степенью числа a с натуральным показателем n (n ≥ 2) называется произведение n множителей, каждый из которых равен a: an = a · a · … · a. Читают: «a в степени n». По определению a1 = a; по соглашению a0 = 1 при a ≠ 0.

Число a — основание степени, n — показатель степени. Примеры: 2³ = 2·2·2 = 8; (−3)² = 9; (−3)³ = −27.

Свойства степеней (правила)

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают: an · am = an+m. При делении — вычитают: an : am = an−m (a ≠ 0, n > m). При возведении степени в степень показатели перемножают: (an)m = an·m. Степень произведения равна произведению степеней: (ab)n = an bn. Аналогично степень частного: (a/b)n = an/bn (b ≠ 0).

Арифметическим корнем степени n (n — натуральное, n ≥ 2) из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число x, что xn = a. Обозначение: ⁿ√a или, при n = 2, просто √a (квадратный корень). Примеры: √9 = 3, так как 3² = 9; ³√8 = 2, так как 2³ = 8. Из отрицательного числа квадратный корень в действительных числах не извлекают.

Степень с целым отрицательным показателем

По определению a−k = 1ak (a ≠ 0, k ∈ N). Пример: 2⁻³ = 12³ = 18. Все правила степеней сохраняются для целых показателей.

Степень с рациональным показателем

При a ≥ 0: a1/n = ⁿ√a. При a > 0: am/n = ⁿ√(am) = (ⁿ√a)m (m — целое, n — натуральное). Правила (произведение, деление, степень степени) те же.