Математика

Буквенное выражение — запись из чисел, букв, знаков действий и скобок. Примеры: 2a + b, (x − 1)/(x + 2), √(x + 1). При подстановке вместо букв допустимых значений получается число.

ОДЗ (область допустимых значений) — множество значений переменных, при которых выражение имеет смысл.

Тождество — равенство, верное при всех значениях переменных из ОДЗ. Упрощение — раскрытие скобок, приведение подобных, сокращение дробей.

Одночлен — произведение числа (коэффициент) и степеней переменных (например, 3x²y). Многочлен — сумма одночленов. Степень многочлена — наибольшая степень входящего в него одночлена.

Сложение и вычитание: раскрываем скобки (знак минус перед скобкой меняет знаки внутри), приводим подобные. Умножение: каждый член первого на каждый член второго, затем приводим подобные.

Формулы сокращённого умножения упрощают раскрытие скобок и разложение на множители. Их нужно знать наизусть.

Разложить на множители — представить выражение в виде произведения. Это нужно для сокращения дробей, решения уравнений и неравенств.

Приёмы

Вынесение общего множителя: найти общий множитель всех членов (число и/или степень переменной), вынести его за скобки.

Группировка: объединить слагаемые в группы так, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель; затем вынести получившуюся общую скобку.

ФСУ в обратную сторону: разность квадратов a² − b² = (a − b)(a + b); сумма и разность кубов — по формулам из блока выше.

Квадратный трёхчлен ax² + bx + c: найти корни x₁, x₂ уравнения ax² + bx + c = 0; тогда разложение по формуле ниже.

Алгебраическая дробь — выражение PQ, где P и Q — многочлены, Q не тождественный ноль. ОДЗ: все значения переменных, при которых Q ≠ 0.

Сокращение: разложить числитель и знаменатель на множители; разделить числитель и знаменатель на их общий множитель. Сокращать можно только множители, а не слагаемые.

Сложение и вычитание: привести дроби к общему знаменателю (удобно брать НОК знаменателей или произведение); сложить или вычесть числители; знаменатель общий; по возможности сократить.

Перед умножением удобно сокращать крест-накрест. Деление — заменить умножением на обратную дробь.

Линейное уравнение — вид ax + b = 0 (a, b — числа). При a ≠ 0 корень один; при a = 0 — либо бесконечно много решений (b = 0), либо решений нет (b ≠ 0).

Алгоритм для сложного уравнения: раскрыть скобки; перенести слагаемые с x в одну часть, числа в другую (знак при переносе меняется); привести подобные; разделить на коэффициент при x.

Ответ — промежуток: (a; b) или [a; b], (−∞; a), (a; +∞). Круглая скобка — граница не входит, квадратная — входит.

Квадратное уравнение — вид ax² + bx + c = 0, a ≠ 0. Решение зависит от дискриминанта D = b² − 4ac.

При D > 0 — два различных корня; при D = 0 — один корень (два совпавших); при D < 0 — действительных корней нет.

Теорема Виета связывает корни и коэффициенты. Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 и для общего ax² + bx + c = 0:

Разложение: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Неизвестное входит в знаменатель (например, 1x−2 + 3x = 5). Сначала выписываем ОДЗ: все знаменатели ≠ 0.

Система двух уравнений с двумя неизвестными. Решение — пара (x; y), удовлетворяющая обоим уравнениям.

Метод подстановки: выразить из одного уравнения одну переменную (например, y через x); подставить во второе; решить уравнение с одной переменной; найти вторую переменную.

Метод сложения: умножить уравнения на числа так, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными; сложить уравнения — одна переменная исчезнет; решить, затем подстановкой найти вторую.

Квадратное неравенство ax² + bx + c > 0 (или <, ≥, ≤). Решаем уравнение ax² + bx + c = 0, находим корни. Парабола: при a > 0 ветви вверх, при a < 0 — вниз. Для > 0 берём промежутки, где парабола выше Ox; для < 0 — где ниже. Строгое неравенство — границы не включаем; нестрогое — корни включаем.

Метод интервалов — для неравенств вида произведение или дробь > 0, < 0. Отмечаем на прямой корни числителя и точки, где знаменатель равен нулю (их выкалываем). На каждом промежутке выражение сохраняет знак; определяем знак подстановкой на одном промежутке, остальные — чередованием.