Математика

ЕГЭ профильная математика: задания 1–12 — краткий ответ (целое число или десятичная дробь); 13–19 — развёрнутое решение. Примерное распределение: 1 — практическая задача (проценты, округление); 2 — чтение графика/диаграммы; 3 — планиметрия (площади, клетки); 4 — теория вероятностей; 5 — уравнения (линейные, квадратные, простые); 6 — планиметрия или текстовая; 7 — производная, геометрический смысл, монотонность; 8 — стереометрия (объёмы, площади); 9 — графики и производная; 10 — теория вероятностей; 11 — текстовая (движение, работа); 12 — уравнение/неравенство (показательное, логарифмическое, тригонометрическое); 13 — уравнение (тригонометрия, отбор корней); 14 — стереометрия (расстояния, углы); 15 — неравенство; 16 — планиметрия; 17 — экономическая задача; 18 — параметры; 19 — число и его свойства. Нумерация может незначительно меняться по годам.

В первых 12 номерах проверяют: применение процентов и округления; чтение графиков функции и производной (возрастание/убывание, точки экстремума, наибольшее/наименьшее значение на отрезке); простые уравнения (линейные, квадратные, корни, степени); планиметрию по клеткам (площади, расстояния, углы); теорию вероятностей (классическое определение, сложение/умножение вероятностей); производную — физический и геометрический смысл, уравнение касательной, исследование функции на монотонность и экстремумы по графику f'(x); стереометрию — призма, пирамида, цилиндр, конус, объём и площадь поверхности. Ключевые формулы: производная степенной функции (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹, (eˣ)' = eˣ, (ln x)' = 1/x, (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x; уравнение касательной y = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀).

Задание 13 — уравнение: тригонометрическое (с отбором корней на отрезке), логарифмическое или показательное. Важно: ОДЗ для логарифмов (аргумент > 0, основание > 0 и ≠ 1) и для корней; отбор корней по окружности или подстановкой в ограничения. Задание 14 — стереометрия (расстояние от точки до прямой/плоскости, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями); метод координат и скалярное произведение векторов. Задание 15 — неравенство: логарифмическое, показательное, рациональное (метод интервалов). Схема: перенести всё в одну сторону, разложить на множители, найти нули и точки разрыва, определить знак на промежутках, записать ответ с учётом ОДЗ.

Планиметрия (задачи 3, 6, 16): треугольники (Пифагор, подобие, площади, медианы, биссектрисы); окружность (касательная, вписанные углы, хорды); четырёхугольники; координатный метод — расстояние между точками, уравнение прямой, угол между прямыми. Стереометрия (8, 14): объёмы призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара; расстояние от точки до плоскости (перпендикуляр или объём тетраэдра); угол между прямой и плоскостью (угол между прямой и её проекцией); угол между плоскостями (линейный угол двугранного). Векторы: координаты, сумма, разность; скалярное произведение a·b = |a||b|cos φ; условие перпендикулярности a·b = 0. Формулы объёмов и площадей — см. Часть IV и справочник.

Типовые сюжеты: кредиты — дифференцированные (долг уменьшается, выплаты разные) и аннуитетные (равные выплаты); формула остатка долга после k выплат; нахождение суммы кредита, срока или процента. Вклады — начисление процентов раз в год или по месяцам; формула сложного процента S = S₀(1 + p/100)ⁿ. Оптимизация — целевая функция (прибыль, стоимость) от одной или двух переменных с ограничениями (неравенствами); исследование на экстремум (производная или перебор граничных значений). Текстовые (движение, работа, смеси): ввести переменные, составить уравнения/неравенства по условию, решить и проверить на соответствие смыслу.

Задача с параметром (обычно №18): уравнение или неравенство содержит параметр a; требуется найти все значения a, при которых выполнено условие (например, ровно два корня, корни принадлежат промежутку). Идеи: выразить параметр через переменную; исследовать функцию; использовать геометрическую интерпретацию (графики); рассмотреть особые случаи (старший коэффициент равен нулю, дискриминант равен нулю). №19 — задача на числа (натуральные, цифры, делимость): логика, перебор, оценка + проверка. Стратегия: аккуратно ввести обозначения, записать все условия в виде уравнений/неравенств, не терять случаи при разборе параметра.