Математика

Углы и свойства прямых — основа для доказательств в треугольниках и многоугольниках. Все утверждения ниже нужно уметь применять по ходу решения.

Вертикальные и смежные углы

Вертикальные углы — пары углов, образованные при пересечении двух прямых (не имеющие общей стороны). Они равны между собой.

Смежные углы — два угла с общей стороной, две другие стороны составляют одну прямую. Сумма смежных углов всегда 180°. Из этого следует: если один угол известен, второй находится как 180° − первый.

Параллельные прямые и секущая

Параллельные прямые (a ∥ b) не пересекаются. Секущая — прямая, пересекающая обе параллельные. Она образует с ними восемь углов. Пары углов имеют специальные названия: накрест лежащие (лежат по разные стороны секущей, между параллельными), соответственные (по одну сторону секущей, один «над», другой «под» своей прямой), односторонние (по одну сторону секущей, оба между параллельными).

Признаки параллельности двух прямых: если при пересечении с секущей накрест лежащие углы равны (или соответственные равны, или сумма односторонних равна 180°), то прямые параллельны. В задачах часто используют именно признак: доказывают равенство углов и делают вывод a ∥ b.

Треугольник — основная фигура планиметрии. Все формулы площадей и многие задачи ОГЭ/ЕГЭ опираются на его свойства.

Сумма углов и внешний угол

Сумма углов треугольника равна 180°. То есть ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Это позволяет находить третий угол, если известны два.

Внешний угол треугольника — угол, смежный с одним из внутренних (продолжаем сторону и получаем угол «снаружи»). Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Например, внешний при вершине C равен ∠A + ∠B.

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других: a < b + c, b < a + c, c < a + b. Иначе три отрезка не «сойдутся» в треугольник. При проверке существования треугольника проверяют все три неравенства; часто достаточно проверить наибольшую сторону.

Площадь треугольника

Три основные формулы. Выбор зависит от того, что дано в задаче.

Формула с синусом удобна, когда известны две стороны и угол между ними (в том числе в параллелограмме: S = ab·sin α). Герон — когда известны все три стороны.

Подобие треугольников

Два треугольника подобны (ΔABC ∼ ΔA₁B₁C₁), если их углы равны и стороны пропорциональны. Коэффициент подобия k: отношение соответственных сторон одно и то же: ABA₁B₁ = BCB₁C₁ = ACA₁C₁ = k.

В прямоугольном треугольнике один угол прямой (90°). Стороны, образующие прямой угол, — катеты (a, b); сторона против прямого угла — гипотенуза (c).

Теорема Пифагора и обратная

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b². По двум катетам находим гипотенузу: c = √(a² + b²); по гипотенузе и катету — второй катет: a = √(c² − b²).

Обратная теорема: если в треугольнике со сторонами a, b, c выполняется a² + b² = c², то треугольник прямоугольный, причём прямой угол лежит против стороны c. Это используют для проверки «прямоугольности» по длинам сторон.

Важные следствия

Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы: a = c2 (если ∠B = 30°, то b — этот катет). Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы: m_c = c2. Высота из прямого угла: h² = a_c·b_c (проекции катетов на гипотенузу) и a·b = c·h.

Окружность — множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки O (центра). Расстояние от центра до любой точки окружности — радиус R. Диаметр d = 2R — отрезок через центр, соединяющий две точки окружности. Длина окружности и площадь круга:

Касательная к окружности

Касательная — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку (точку касания). Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Из одной точки вне окружности можно провести две касательные; отрезки от этой точки до точек касания равны. Эти факты часто используют в задачах на нахождение длин или доказательство равенства отрезков.

Хорда

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делит её пополам (и наоборот: серединный перпендикуляр хорды проходит через центр). Хорда, проходящая через центр, — диаметр.

Центральный и вписанный углы

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Его градусная мера равна градусной мере дуги, на которую он опирается (дуга между сторонами угла).

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается (дуга между точками пересечения сторон с окружностью, не содержащая вершину). Отсюда: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Четырёхугольники в школе — параллелограмм, его частные случаи (прямоугольник, ромб, квадрат) и трапеция. Свойства и формулы площадей нужно знать твёрдо.

Параллелограмм

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Свойства: противоположные стороны равны; противоположные углы равны; диагонали точкой пересечения делятся пополам. Площадь: S = a·h (любая сторона × высота к ней) или S = a·b·sin α (две стороны и угол между ними).

Прямоугольник, ромб, квадрат

Прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами. Диагонали равны. S = ab (две смежные стороны).

Ромб — параллелограмм с равными сторонами. Диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. Площадь S = 12d₁d₂ (половина произведения диагоналей) или S = a·h, S = a²·sin α.

Квадрат — прямоугольник с равными сторонами (или ромб с прямыми углами). S = a²; диагональ d = a√2.

Трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), две другие — нет (боковые). Основания обычно обозначают a и b (a > b или наоборот), высота h — расстояние между прямыми, содержащими основания. Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон; она параллельна основаниям и равна полусумме оснований: m = a+b2. Площадь S = (a+b)h2 = m·h.

В равнобедренной (равнобокой) трапеции боковые стороны равны; углы при каждом основании равны; диагонали равны. Эти свойства часто используют в задачах.

Итоговые формулы по площадям плоских фигур и объёмам тел. В ОГЭ и ЕГЭ их нужно применять без ошибок.

Планиметрия: площади

Треугольник: S = 12ah (или ½ab·sin γ, или Герон). Параллелограмм: S = ah. Трапеция: S = (a+b)h2. Круг: S = πR². Сектор круга (часть круга между двумя радиусами): S = α360°·πR², где α — центральный угол в градусах.

Стереометрия: объёмы и поверхности

Призма (в том числе параллелепипед, куб): V = Sосн·h, где h — высота (перпендикуляр между основаниями). Прямой параллелепипед: V = abc. Куб: V = a³.

Пирамида: V = 13Sосн·h. Коэффициент 13 запомнить: объём пирамиды в три раза меньше объёма призмы с тем же основанием и высотой.

Цилиндр (круговой): V = πR²h; боковая поверхность Sбок = 2πRh (развёртка — прямоугольник). Конус: V = 13πR²h; Sбок = πRl, где l — образующая (длина от вершины до точки на окружности основания). Шар: V = 43πR³; площадь сферы S = 4πR².