Математика

Тригонометрия нужна для уравнений, неравенств и задач с углами в ЕГЭ. Основа — единичная окружность и основные тождества.

Единичная окружность и определение sin, cos

Единичная окружность — окружность с центром в начале координат и радиусом 1. Угол α откладываем от положительной полуоси Ox против часовой стрелки; луч пересекает окружность в точке. Косинус угла α — абсцисса этой точки, синус угла α — её ордината. Таким образом, для любого угла α выполняются неравенства −1 ≤ cos α ≤ 1 и −1 ≤ sin α ≤ 1.

Основное тождество и тангенс

Из определения и теоремы Пифагора для точки на единичной окружности: sin²α + cos²α = 1 (основное тригонометрическое тождество). Из него можно выражать sin через cos и наоборот (с учётом знака четверти).

Тангенс и котангенс определяются через синус и косинус: tg α = sin αcos α (при cos α ≠ 0); ctg α = cos αsin α (при sin α ≠ 0). Связь: 1 + tg²α = 1cos²α; tg α · ctg α = 1.

Таблица значений для основных углов

Значения sin, cos, tg для 0°, 30°, 45°, 60°, 90° нужно знать наизусть. Синус растёт от 0 до 1, косинус убывает от 1 до 0. Тангенс при 90° не определён (cos 90° = 0).

Знаки по четвертям

В первой четверти (0° < α < 90°) sin > 0, cos > 0, tg > 0. Во второй (90° < α < 180°) sin > 0, cos < 0, tg < 0. В третьей sin < 0, cos < 0, tg > 0. В четвёртой sin < 0, cos > 0, tg < 0. Это нужно для отбора корней в тригонометрических уравнениях и для формул приведения.

Формулы приведения

Формулы приведения позволяют выразить sin и cos углов вида π2 ± α, π ± α, 3π2 ± α, 2π − α через sin α и cos α. Правило: если угол вида π2 ± α или 3π2 ± α, функция меняется на «ко-функцию» (sin ↔ cos, tg ↔ ctg); знак в правой части берётся по знаку исходной функции в соответствующей четверти. Для π ± α и 2π − α функция не меняется, знак — по четверти.

Числовые последовательности и их суммы встречаются в ОГЭ и ЕГЭ (задачи на прогрессии, ряды). Нужно чётко различать арифметическую и геометрическую прогрессию и уметь применять формулы.

Арифметическая прогрессия (АП)

Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа d (разность прогрессии): aₙ₊₁ = aₙ + d. Пример: 2, 5, 8, 11, … (d = 3).

n-й член выражается через первый и разность: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Так можно найти любой член по номеру. Сумма первых n членов: Sₙ = (a₁ + aₙ)·n2 (полусумма первого и n-го, умноженная на число членов). Эквивалентная форма: Sₙ = (2a₁ + (n−1)d)·n2 — удобна, когда известны a₁, d и n.

Характеристическое свойство: каждый член АП (кроме первого и последнего) равен полусумме соседних: aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁2. Его используют для проверки, является ли последовательность арифметической, или для нахождения неизвестного члена.

Геометрическая прогрессия (ГП)

Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число q (знаменатель прогрессии): bₙ₊₁ = bₙ · q. Пример: 2, 6, 18, 54, … (q = 3). Предполагаем b₁ ≠ 0, q ≠ 0.

n-й член: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. Сумма первых n членов: при q ≠ 1 формула Sₙ = b₁(qⁿ − 1)q − 1 = b₁(1 − qⁿ)1 − q. При q = 1 все члены равны b₁, поэтому Sₙ = n·b₁.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это ГП с |q| < 1. Сумма всех её членов конечна: S = b₁1 − q. Формула получается предельным переходом из Sₙ при n → ∞ (qⁿ → 0).

Характеристическое свойство ГП: квадрат каждого члена (кроме первого и последнего) равен произведению соседних: bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁.